1975 yılında İstanbul'da dünyaya gelen Mehmet Günsür oyunculuğa yedi yaşında çeşitli reklam filmlerinde oynayarak başladı. 14 yaşındayken Okan Uysaler'in yönettiği Geçmiş Bahar Mimozaları adlı dizide Rutkay Aziz, Filiz Akın ve Müşfik Kenter gibi oyuncularla rol aldı. İtalyan Lisesinden mezun olduktan sonra Marmara Üniversitesi İletişim Fakültesine girerek buradan mezun oldu. Bir müzik grubuyla konserler veren Günsür, dört yıl boyunca restoran işletmiştir. Hamam filminin figürasyonunu yapan bir arkadaşının aracılığıyla seçmelere katıldı. Deneme çekiminin ardından role kabul edildi ve Ferzan Özpetek'in yönetmenliğindeki bu filmle adını geniş kitlelere duyurdu. Filmin ardından yalnızca oyunculuğa yönelme kararı aldı. Günsür 2006 yılında yönetmen Katerina Mongio ile evlendi, çiftin üç çocukları vardır.